博弈论是研究决策者（参与者）在互动决策中如何制定策略以实现自身目标的理论工具。它被广泛应用于经济学、管理学、政治学和生物学等领域。以下是博弈论的核心理论和概念：
一、博弈论的基本概念
1.参与者
?决策者或博弈的玩家，每个参与者都有自己的策略集和目标。
2.策略
?参与者可选择的行动方案。
?纯策略：明确选择一种行动。
?混合策略：以一定概率随机选择多种行动。
3.收益
?每位参与者在不同策略组合下获得的结果，通常以支付矩阵或收益函数表示。
4.信息结构
?完全信息博弈：所有参与者都了解博弈规则及对方的策略和收益。
?不完全信息博弈：参与者无法完全了解其他人的策略或收益。
5.博弈类型
?零和博弈：一方的收益完全等于另一方的损失。
?非零和博弈：参与者的收益和损失总和不为零，可能存在合作空间。
二、经典博弈模型
1.囚徒困境
?两个犯罪嫌疑人面临独立决策：合作（保持沉默）或背叛（揭发对方）。
?核心特征：双方背叛是纳什均衡，但如果合作，整体收益更高。
?意义：揭示了个体理性选择可能导致集体非最优结果的问题。
2.纳什均衡
?概念：在一个策略组合中，每个参与者都无法通过单方面改变策略来获得更高的收益。
?意义：描述了稳定的策略选择状态，是博弈论的核心解决方案概念。
3.智猪博弈
?两只猪分享同一食槽，大猪和小猪通过合作或竞争决定食槽开启。
?展示了合作与权衡在博弈中的重要性。
4.公共物品博弈
?参与者决定是否为公共物品（如环境保护）贡献资源。
?核心问题：个人追求免费搭车效应可能导致公共物品供给不足。
5.演化博弈
?研究生物种群中策略选择的演化过程。
?重要概念：进化稳定策略（ESS），即在群体中无法被其他策略入侵的稳定策略。
三、博弈的主要分类
1.静态博弈与动态博弈
?静态博弈：参与者同时或独立选择策略，无时间因素。
?动态博弈：参与者根据时间顺序依次做出决策，考虑先发制人或后发优势。
2.完全信息博弈与不完全信息博弈
?完全信息：所有参与者都了解博弈规则和收益。
?不完全信息：参与者对对方的策略或收益有不确定性。
3.合作博弈与非合作博弈
?合作博弈：参与者可以签订协议共同分享收益。
?非合作博弈：参与者独立决策，无法约束对方。
四、重要定理与解决方法
1.小规模博弈解法
?支付矩阵的分析。
?通过纯策略或混合策略找到纳什均衡。
2.极大极小原理
?应用于零和博弈中，决策者选择能使自己最小损失最大化的策略。
3.子博弈完美均衡
?动态博弈中特别重要，要求每个子博弈都符合纳什均衡。
4.贝叶斯博弈
?用于分析不完全信息博弈，通过引入概率分布描述参与者的信念。
五、博弈论的应用
1.经济学
?分析市场竞争（如寡头垄断）。
?定价策略、拍卖设计、资源分配问题等。
2.政治学
?国家间博弈（如军备竞赛）。
?政策制定中的合作与冲突。
3.商业与管理
?企业间的竞合关系。
?谈判和激励机制设计。
4.生物学与社会学
?物种竞争与合作关系（如捕食者与猎物模型）。
?社会行为分析（如道德困境）。
六、博弈论的局限性
1.假设参与者是完全理性的，这与现实中的行为可能不符。
2.无法充分处理复杂、多维度的决策问题。
3.参与者间的信息不对称可能导致博弈结果偏离理论预测。
博弈论作为现代决策科学的重要工具，为分析复杂互动中的策略选择提供了丰富的理论框架，帮助人们理解竞争与合作的本质及其动态变化。